浅谈不等式问题
Jan 24, 2025. | By: GGapa
$$ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $$${ \mathrm{Example\enspace 1}} $
问题描述
已知 $x >0, y > 0$ 且 $2x + 8y - xy = 0$ 求 $x + y$ 的最小值
分析与解答
通过1的代换来解决问题
考虑将 $2x + 8y - xy = 0$ 化简可得：
$2x + 8y = xy$ 两边同乘 $\frac{1}{xy}$ 可得：
$ \frac{2}{y} + \frac{2}{x} =1 $
$ \because x+y=(x+y)\cdot 1 $
$\therefore (x+y)=(x+y)(\frac{8}{x}+\frac{2}{y} )=\frac{2x}{y} +\frac{8y}{x} +10$
$\because x>0,y>0 $
$\therefore \frac{2x}{y} +\frac{8y}{x} \ge2\sqrt[]{16} $
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