曲线系

曲线系仅仅是一种避免求交点的, 很自然的想法.

子集: 直线系

设两条直线为 \(l_1, l_2\),

"交集":

\[ l_1 + \lambda l_2 = 0, \]

一方面表示 \(l_1\) 与 \(l_2\) 交点, 另一方面表示过交点的所有直线 (不包括 \(l_2\), 这一点可以联想直线的斜截式).

交点也就是"交集".

"并集":

\[ l_1 \times l_2 = 0, \]

表示两个直线上面所有的点.

所有点就是"并集".

注意到, \(l_1 \times l_2\) 实际上提高了方程的次数, 实际将其转化为了二次曲线.

实际上, \(l_1l_2\) 是退化的双曲线方程!

常见例子: 渐近线

\[ H: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \]

将右侧 \(1\) 变为 \(0\) 即为 \(H\) 渐近线.

两条直线就是退化的二次曲线.

二次曲线

\[ Ax^2+2Bxy+Cy^2+2DX+2Ey+F = 0, \]

表示?: 椭圆(圆), 双曲线, 抛物线, 两条直线.

现在开始: 曲线系!

这是什么?

先告诉你, \(E\) 可以被这样表示:

\[ L_1L_2 + \lambda L_3L_4 = \mu E, \]

将它与我们前面所学的直线系相关联, 你想到了什么?

没错, 实际上 \(L_1L_2\) 和 \(L_3L_4\) 都是二次曲线, 而上面的方程则表示了过这两个二次曲线的公共点的所有二次曲线!(当然, 这里也不包括 \(L_3L_4\), 但这在一般情况并无大碍).

为什么有 \(\mu\)? 实际上, 上面的方程原来被写成这样:

\[ \lambda L_1L_2 + \mu L_3L_4 = E, \]

现在能理解了吧.

那下面的椭圆又该如何表示呢?

\(L_1L_2\), \(L_2L_3\) 和 \(L_3L_1\) 为分别的三个二次曲线, 而 \(E\) 过这三个二次曲线的公共点(抱歉这里直线没改名字).

那么就可以这么表示:

\[ L_1L_2 + \lambda L_2L_3 + \mu L_3L_1 = kE. \]

来几道例题吧

很经典的题, 对吧, 已经成各种tricks试验场了(bushi).

\(T\) 坐标为 \((9, m)\), \(A, B\) 为 \(E\) 左右顶点, 再交于 \(M, N\), 求 \(MN\) 过定点.

等等, 先把你的齐次化收一收(.

根据我们上面的思路, 直接把 \(E\) 用曲线系重新表示, 然后对比系数.

\[ \boldsymbol{I} \begin{cases} AT: x = 12/m-3, \\ BT: x = 6/m+3 \end{cases},\boldsymbol{II} \begin{cases} AB: y = 0, \\ MN: y = kx + n (这里设一个) \end{cases} \]

然后呢,

\[ \boldsymbol{I} + \lambda \boldsymbol{II} = \mu E, \]

代入就是下面这个样子,

\[ \left(x-\dfrac{12}{m}y+3\right)\left(x-\dfrac{6}{m}y-3\right)+\lambda y\left(kx-y+n\right) = \mu \left(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}-1\right) \]

不难发现实际上我们只需要关注带 \(k\) 及 \(n\) 的项就行了, 在这里即 \(xy\) 及 \(y\) 项.

故有,

\[ \begin{cases} -\dfrac{12}{m}-\dfrac{6}{m}+\lambda k = 0, \\ \dfrac{36}{m}-\dfrac{18}{m}+\lambda n = 0 \end{cases} \]

对比系数有 \(n = -k\), 即直线 \(MN\) 可以被表示为

\[ MN: y = kx-k, \]

故 \(MN\) 过定点 \((1, 0)\)!

评论